小学奥数容斥原理

篇一:小学奥数知识点汇编大全之五(容斥原理)

小学奥数知识点汇编大全之五(容斥原理

)

篇二:小学奥数之容斥原理

容斥原理(一)

【例题分析】

例1. 有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上,求这两个图形盖住桌面的面积?

分析与解:阴影部分是直角三角形,是两个图形的重叠部分,它的面积是:

方法一:

方法二:

方法三:(平方厘米) (平方厘米) (平方厘米) (平方厘米)

答:盖住桌面的面积是67平方厘米。

例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人,其中参加无线电小组的有17人,参加航模小组的有14人,两组都参加的有多少人?

分析与解:把17人和14人相加,是把两组都参加的人算了两次,所以减去总人数,就是两组都参加的人数(人)。

也可以这样解:

或(人) (人)

答:两组都参加的有5人。

例3. 六一班有学生46人,其中会骑自行车的有19人,会游泳的有25人,既会骑车又会游泳的有7人,既不会骑自行车又不会游泳的有多少人?

分析与解:先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人,从中减去会骑车或会游泳的人数,剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

(人)

(人)

答:既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20人,参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组的有7人,三个小组都参加的有3人,这个年级参加课外小组的同学共有多少人?分析与解:图中的5、6、7人都是两两重叠的部分,图中的3人是三个重叠的部分,要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。

(人)

答:这个年级参加课外小组的有60人。

例5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中,有4人三项都未达到优秀,其他人至少有一项是优秀,下表是得优秀的情况,请你算出全班人数。

分析与解:根据题意画出如下图

要求全班有多少人,先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数,加上三项都未达到优秀的,就是全班人数。

(人) (人)

答:全班有42人。

例6. 分母是105的最简真分数有多少个?

分析与解:这些分数是最简真分数,所以分子应小于105,只能是1—104中的自然数,而且分子与105要互质。因为,所以分母不能是3的倍数或5的倍数或7的倍数。所以,要求有多少个最简真分数,实际上就是求1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。

能被3整除的数:

能被5整除的数:

能被7整除的数:

能同时被3和5整除的数:

能同时被3和7整除的数:

能同时被5和7整除的数:

(个) (个) (个) (个)

(个)

答:分母是105的最简真分数有48个。

【模拟试题】(答题时间:30分钟)

1. 有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上,两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米,三个圆相交的面积是5平方厘米,求三个圆盖住桌面的面积?

2. 某区有100名外语教师懂英语或日语,其中懂英语的有75名,既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名?

3. 某班数学测验时有10人得优,英语得优有12人,两门都得优有3人,两门都没得优的有26人。全班有多少人?

4. 六年级一班春游,带矿泉水的有18人,带水果的有16人,这两种至少带一种的有28人,求两种都带的有多少人?

5. 在1至100的自然数中,不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个?

容斥原理(二)

【例题分析】

例1. 有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,第三次达到优秀的有15人,三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人?

分析与解:“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分(图中阴影部分)。

(人)

答:只有两次达到优秀的有11人。

例2. 在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只要冰棍和汽水的有3人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧的有1人;三样都要的有1人。问:共有几个小朋友去了冷饮店?

分析与解:根据题意画图。

方法一:

方法二:(人) (人)

答:共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问:只参加跑和投掷两项的有多少人?

分析与解:“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的,也没有参加一项比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

篇三:四年级奥数讲义:容斥原理(1)

四年级数学讲义

奥数:容斥原理(1)

教学目标:1、理解容斥原理,会画图分析其中关系,正确的找出答案。

2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。

3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学衔接

二、教学内容

(一)知识介绍

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

(二)例题精讲 NaNb

例1、一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完成的有:79-48=31人。

例2、某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对?

【分析与解答】已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25-15=10人。又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10+23=33人。所以,两题都答得不对的有36-33=3人。

例3、某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

小学奥数容斥原理

【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数:56-25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数:28+27-31=24人。

例4、1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?

【分析与解答】从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个(100÷6=16??4),其中既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(100÷30=3??10)。因此,是6或5的倍数的个数是16+20-3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是:100-33=67个。

例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?

【分析与解答】由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、

四、五年级参展作品的总数。24+22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数。(24+22-10)÷2=18幅。

三、教学练习

1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?

2、五(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加?

3、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人?

4、在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个?

5、科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件?

四、教学小结

六、课后练习

1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人?

2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?

3、三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人?

4、在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?

5、六(1)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?